Función:
Conjunto de coordenadas, tales que no hay dos iguales en la misma notación.
Una función es una relación entre dos variables cuyo resultado es una pareja de variables x,y en el plano cartesiano, cuyo primer elemento(valor de x) nunca se repite. Las funciones son de los siguientes tipos:
* Lineal *Racional Cuadrática
*Cuadrática *Exponencial
*Raíz cuadratica *Logarítmica
*Racional Lineal *Trigonométrica
4.1 Función Líneal
Es de la siguiente forma: f(x)= mx+b, donde "b" representa la intersección de la recta con el eje "y" cuando el valor de "x" es igual a cero y "m" es la pendiente de la recta la cual piede tener 3 condiciones: si "m" es mayor a cero la pendiente es positiva, sie s igual a cero no tiene pendiente y si es menor a cero es negativa.
Los pasos son los siguientes:
f(x)= 3x-6
1. Encontrar los valores de intersección con el eje de las "x" igualando la función a cero y resolviendo para "x". 3x-6=0 3x=6 x=6/3 x=2 (2,0)
2. Encontrar la intersección con el eje de "y" sustituyendo x=0 en la función.
f(0)= 3(0)-6 f(0)= 0-6 f(0)=-6 (0,-6)
3."m" es igual al valor que tenga la ecuasión sobre 1: m=3/1 m=3, la pendiente es positiva e indica qeu avanza 1 unidad en "x" y sube 3 en "y".
4.2 Funciones Cuardráticas
Tiene la formula general: f(x)= ax^2+bx+c, y se represnta como una parábola.Donde el valor de "a" puede tener dos casos: cuando "a" es mayor a cero la parábola abre hacía arriba y si "a" es menos a cero abre hacía abajo.
El discriminante de la formula general nos permite saber cuantas veces la gráfica de la parábola cruza el eje de las "x"(b=4ac).Puede tener tres casos: si es mayor a cero corta en dos puntos el eje de "x", si es igual a cero corta en un punto el eje "x" y si es menor a cero no corta en el eje de las "x".
Como graficar las funciones cuadráticas:
Encontrar la intersección con los ejes "x" y "y" y el vértice de la función f(x)= x^2-6x+8 y graficar la función.
4.3 Función Raíz
Existen dos tipos: Raíz Lineal y raíz cuadrática
Raíz lineal:
Se grafica como una media parábola y dependiendo del valor de "a" se abre a la derecha si "a" es mayor a cer o a la izquiera si "a" es menor a cero. El punto de intersección cone l eje "x" se obtiene con la formula: x= -p/a, después se resuelve la función y se buscan otros dos puntos para graficar.
Raíz Cuadrática:
La raíz cuadrática se gráfica como dos medias hiperbolas cuando a es mayor a cero y cuando es menor a cero se grafica como media elipse.
Raiz cuadrática cuando a es menor a cero (media elipse)
4.4Función Racional:
Es de la forma f(x)=N(x)/Q(x) donde Q(x) es "0" y n(x) y q(x) son polinomios del primer grado:
N= constante Q=Función lineal o Función cuadrática
4.4.1Función Racional Lineal:
Tiene la forma de f(x)=K/ax+b donde K/a puede ser mayor o menor a cero.
1.Encontrar la asintota vertical, que se obtiene igualando el denominador de la funcióna cero y encontrar el valor de "x".
2.Determinar la recta vicectríz e igualarla a la función original para encontrar los valores de x1 y x2 que serían los vertices de las hiperbolas.
3.Sustituir x1 y x2 en la función original y determinar los valores de y1 y y2 graficando los puntos
4.4.2 Función Racional Cuadrática
Es de la forma f(x)= K/ax^2+bx+c, donde K/a es mayor a cero y K/a es menor a cero. El método de solución es igual ala racional lineal, solo que como el denominador es una función cuadrática se obtienen dos raíces y por lo tanto dos asintotas vertícales.
4.5 Función Logarítmica Natural
Es de la forma f(x)=kln(x-p), donde K representa el desplazamiento vertical(arriba-abajo) "p" el desplazamiento horizontal de función(izquierda, derecha).
4.6Función Exponencial
Es de la forma f(x)= k+e(x+p), donde K es el desplazamiento vertícal de la función hacía arriba si "K" es mayor a cero y hacía abajo cuando "K" es menor a cero y "p" es el deplazamiento horizontl a la izquierda o la derecha de la función.
Conjunto de coordenadas, tales que no hay dos iguales en la misma notación.
Una función es una relación entre dos variables cuyo resultado es una pareja de variables x,y en el plano cartesiano, cuyo primer elemento(valor de x) nunca se repite. Las funciones son de los siguientes tipos:
* Lineal *Racional Cuadrática
*Cuadrática *Exponencial
*Raíz cuadratica *Logarítmica
*Racional Lineal *Trigonométrica
4.1 Función Líneal
Es de la siguiente forma: f(x)= mx+b, donde "b" representa la intersección de la recta con el eje "y" cuando el valor de "x" es igual a cero y "m" es la pendiente de la recta la cual piede tener 3 condiciones: si "m" es mayor a cero la pendiente es positiva, sie s igual a cero no tiene pendiente y si es menor a cero es negativa.
Los pasos son los siguientes:
f(x)= 3x-6
1. Encontrar los valores de intersección con el eje de las "x" igualando la función a cero y resolviendo para "x". 3x-6=0 3x=6 x=6/3 x=2 (2,0)
2. Encontrar la intersección con el eje de "y" sustituyendo x=0 en la función.
f(0)= 3(0)-6 f(0)= 0-6 f(0)=-6 (0,-6)
3."m" es igual al valor que tenga la ecuasión sobre 1: m=3/1 m=3, la pendiente es positiva e indica qeu avanza 1 unidad en "x" y sube 3 en "y".
4.2 Funciones Cuardráticas
Tiene la formula general: f(x)= ax^2+bx+c, y se represnta como una parábola.Donde el valor de "a" puede tener dos casos: cuando "a" es mayor a cero la parábola abre hacía arriba y si "a" es menos a cero abre hacía abajo.
El discriminante de la formula general nos permite saber cuantas veces la gráfica de la parábola cruza el eje de las "x"(b=4ac).Puede tener tres casos: si es mayor a cero corta en dos puntos el eje de "x", si es igual a cero corta en un punto el eje "x" y si es menor a cero no corta en el eje de las "x".
Como graficar las funciones cuadráticas:
Encontrar la intersección con los ejes "x" y "y" y el vértice de la función f(x)= x^2-6x+8 y graficar la función.
4.3 Función Raíz
Existen dos tipos: Raíz Lineal y raíz cuadrática
Raíz lineal:
Se grafica como una media parábola y dependiendo del valor de "a" se abre a la derecha si "a" es mayor a cer o a la izquiera si "a" es menor a cero. El punto de intersección cone l eje "x" se obtiene con la formula: x= -p/a, después se resuelve la función y se buscan otros dos puntos para graficar.
Raíz Cuadrática:
La raíz cuadrática se gráfica como dos medias hiperbolas cuando a es mayor a cero y cuando es menor a cero se grafica como media elipse.
Raiz cuadrática cuando a es menor a cero (media elipse)
4.4Función Racional:
Es de la forma f(x)=N(x)/Q(x) donde Q(x) es "0" y n(x) y q(x) son polinomios del primer grado:
N= constante Q=Función lineal o Función cuadrática
4.4.1Función Racional Lineal:
Tiene la forma de f(x)=K/ax+b donde K/a puede ser mayor o menor a cero.
1.Encontrar la asintota vertical, que se obtiene igualando el denominador de la funcióna cero y encontrar el valor de "x".
2.Determinar la recta vicectríz e igualarla a la función original para encontrar los valores de x1 y x2 que serían los vertices de las hiperbolas.
3.Sustituir x1 y x2 en la función original y determinar los valores de y1 y y2 graficando los puntos
4.4.2 Función Racional Cuadrática
Es de la forma f(x)= K/ax^2+bx+c, donde K/a es mayor a cero y K/a es menor a cero. El método de solución es igual ala racional lineal, solo que como el denominador es una función cuadrática se obtienen dos raíces y por lo tanto dos asintotas vertícales.
4.5 Función Logarítmica Natural
Es de la forma f(x)=kln(x-p), donde K representa el desplazamiento vertical(arriba-abajo) "p" el desplazamiento horizontal de función(izquierda, derecha).
4.6Función Exponencial
Es de la forma f(x)= k+e(x+p), donde K es el desplazamiento vertícal de la función hacía arriba si "K" es mayor a cero y hacía abajo cuando "K" es menor a cero y "p" es el deplazamiento horizontl a la izquierda o la derecha de la función.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
La solución de problemas siempre está conectada con el mundo real. En este tema veremos
como utilizar las matemáticas para resolver problemas. Primero consideremos el Diagrama
A-L.
En el mundo real se tiene una situación o Problema, una tarea importante es el proceso
de crear un modelo matemático asociado a esa realidad. Una vez que tengo el modelo
matemático del problema A, utilizamos propiedades matemáticas para obtener una conclusión
C, y esa conclusión la interpretamos en el mundo real para proponer una Solución.
Si la solución encontrada no es adecuada para nuestro problema nos regresamos a revisar
la interpretacion de las conclusiones matemáticas C, o los procesos para obtenerlas y
finalmente al modelo A, y repetimos los pasos necesarios para dar otra solución.
Para poder llevar a cabo el la resolución de problemas hay muchos modelos, uno muy
conocido es el de George Polya.
Modelo de Polya
George Polya (1988-1985) Nació en Hungría. Cursó sus estudios en las universidades
de Budapest, Viena, Göttingen y Paris. Fue profesor de matemáticas en la Universidad de
Stanford. Las investigaciones y su agradable personalidad le granjearon un lugar de honor
no sólo entre los matemáticos, sino también entre los estudiantes y los maestros. Sus descubrimiento
abarcaron una variedad impresionante: análisis de variable real y compleja,
probabilidad, análisis combinatorio, teoría de números y geometría. El libro How to Solve It
se ha traducido a 15 idiomas.
"Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de cualquier
problema hay una pizca de descubrimiento. Tu problema puede ser modesto, pero si es
un reto para tu curiosidad y hace que entren en juego tus facultades de inventiva, y si
lo resuelves con tus propios medios, experimentarás la tensión y gozarás el triunfo del
descubrimiento." –George Polya.
Proceso para la resolución de problemas:
1. Entienda el problema. Usted no puede resolver un problema si no entiende lo que
se pide encontrar. El problema debe ser leído y analizado cuidadosamente. Es probable
que necesite leerlo varias veces. Después de que así lo haya hecho, pregúntese: “¿Qué debo
encontrar?”.
2. Formule un plan. Hay muchas formas de atacar un problema y decidir qué plan es
apropiado.
3. Lleve a cabo el plan. Una vez que sepa cómo enfocar el problema, realice su plan.
Usted puede correr hacia un “callejón sin salida” o por caminos con obstáculos imprevistos,
pero sea persistente. Si es capaz de resolver un problema sin ningún esfuerzo, entonces esto
no tiene mucho de problema, ¿o sí?
4. Revise y compruebe. Compruebe su respuesta para ver que ésta sea razonable. ¿Satisface
las condiciones del problema? ¿Ha respondido usted a todas las preguntas que se hacen
en el problema? ¿Puede resolver el problema en una forma diferente y alcanzar la misma
respuesta?
Ejercicios.
a) Investigar lo que es Heurística.
b) Investigar otros modelos para la solución de problemas, por ejemplo el de James
Stewart o el de Serway.
c) Leer las notas complementarias y esquematizar el modelo de Dewey y el de Polya.
6.2 Movimiento Lineal con velocidades constantes
¿Movimiento lineal?
Se denomina así a aquel movimiento cuya trayectoria es una linea recta.
¿Que es la velocidad constante?
Es aquella que mantiene una rapidez constante que no varía en una dirección constante.
Consideraremos movimiento rectilíneo con velocidad contante, elementos que intervienen;
d : distancia v : velocidad t : tiempo. Consideremos dos móviles y es conveniente
hacer la siguiente tabla.
d v t
Móvil 1
Móvil 2
Ejemplo 1. Una tortuga avanza a una velocidad constante de 2 km/h, un día después
sale Aquiles a 20 km/h. ¿Cuánto tarda en alcanzarla?
Primero vemos que los dos van a recorrer la misma distancia cuando Aquiles alcance a
la tortuga (si es que la alcanza); por lo que ponemos x en la tabla para la columna de la
distancia para Aquiles y para la Tortuga. Después anotamos sus velocidades y finalmente si
Aquiles hace un tiempo t, la tortuga hará 24 horas más pues salió un día antes.
d v t
Aquíles x 20 t
Tortuga x 2 t+24
Una vez que tenemos la tabla utilizamos la fórmula: d = vt por lo que obtenemos
x = 20t y x = 2(t + 24).
Como las dos ecuaciones tienen x del lado izquierdo tenemos:
20t = 2(t + 24) ,20t = 2t + 48 ,18t = 48 , t = 48/18= 83
O sea que Aquiles alcanza a la tortuga en 2 horas con 40 min.
Ejemplo 2. La misma tortuga del ejemplo anterior está a 110 km de Maratón, donde
se encuentra Aquiles. Si los dos salen al mismo tiempo, uno hacia el otro, con las mismas
velocidades del ejemplo anterior, ¿cuánto tardan en encontrarse?
Ahora sabemos que el tiempo es el mismo, y sabemos sus velocidades, pero la distancia
es diferente. Si Aquiles recorre una distancia x la tortuga recorrerá 110 -x, y la tabla queda. x, y la tabla queda.
d v t
Aquíles x 20 t
Tortuga 110-x 2 t
Con la misma fórmula anterior obtenemos x = 20t y 110 - x = 2t. En este caso
resolvemos la segunda ecuación para x, y tenemos x = 110- 2t. De nuevo igualamos los
valores de x y tenemos:
110=20t+2t, 110=22t, t=110/22, t= 5
Por lo que Aquiles se encontrará con la tortuga en exactamente 5 horas
