Símbolos de agrupación:
Se utilizan los parentesís las llaves y los corchetes para señalar más de una operación en una expresión, alteración la jerarquía de los operadores ya que se resolvera primero lo que este dentro de ellos siguiendo el ordén de adentro hacía fuera en la expresión.
2x-5x+2y+x-6y =
(2x-5x+x)(2y-6y) = -2x-4y
6a-{2b+3-a-b+5a-2}=
6a-2b-3+a+b-5a+2 = 2a-b-1
3.a+{-2v- [3+(5a-2v)-(7a+2)]}=
a+{-2b-[3+5a-2b-7a-2] }=
a+{-2b-3-5a+2b-7a+2}=
a-2b-3-5a+2b-7a+2}= 3a-1Multiplicación y División de Pilonomios
1. Ley conmutativa: (reacomodo) ab=ba
2. Ley asociativa: (mosquetero) a(bc)=(ab)c
3. Ley Distributiva: (mosquetero) a(b+c)= ab+ac
4. Leyes de los signos:(+a)(+b)=+ab
(-a)(+b)=-ab
(+a)(-b)=-ab
(-a)(-b)=+ab
5. Potencias:
a^m*a^n= a^m^+^n
a^m)^n= a^m^*^n
\frac{a^m}{a^n}= a^m^-^n
ab^n)= a^n b^n
\frac{a}{b})^n= \frac{a^n}{b^n}
Mientras "a" sea diferente de 0Ejemplos:
1.(2ab^2)(3a^4bc^2)
(2*3)(a*a^4)(b^2*b)(c^2)= 6a^5b^3c^2
2.(2ab^3)^2(-3a^2c)^3(-a^4bc^2)^5
(4a^4b^6)(-27a^6c^3)(-a^2^0b^5c^10)
108a^2^8b^1^1c^1^3
3.(-3b^2c^3)(8ab^3c)
24ab^5c^4
Cuando se multiplican dos polinomio, se considera el primero como una sola cantidad y se aplica la LEY DISTRIBUTIVA con el segundo ejemplo: a(b+c)=ab+ac
Ejemplos:
1.(x+2)(x+3)
x+2)(x)+(x+3)3
x^2+3x+2x+6
2.(3x-4)^2
9x^2-24x+16
3.(x-2y)(x^2+xy+4y^2)
x^3+2x^2y+4xy^2-2x^2y-4xy^2-8y^2
x^3+8y^2
División de Polinomios
Teorema si ER a es diferente de cero; m,n EN, entonces:
\frac{a^m}{a^n}= a^m^-^n
mientras m sea mayor a n\frac{a^m}{a^n}= \frac{1}{a^m^-^n}
mientras m sea menor a n
\frac{a^m}{a^n}= 1
mientras m sea igual a n Ejemplos:
1. \frac{x^6y^4}{x^2y^2}=x^4y^2
2. \frac{(2a^2bc^3)^3}{(3ab^2)^2}
\frac{8a^6b^3c^9}{9a^2b^4}
\frac{8a^4c^9}{9b}
3. \frac{-44a^3b^2}{66a^5b^8}
\frac{-2}{3a^2b^6}
Factorización
Factorización por factor común
Para factorizar por factor común se busca el término que se repita en todos los términos de la expresión de tal manera qeu si se multiplicará el polinomio resultante por el factor común se obtenga la expresión original.
Ejemplos:
1.7xy+2xz=x(7y+2z)
2.10x^3yz^4+15xy^4z^3-20x^2y^2z^2=5xyz^2(2x^2z^2+3y^3z-4xy)
3.8x^2+2x-16y^2=2(ax^2+x-8y^2)
4a^3+8a^2-60a=4a(a^2+2a-15)
Factorización por agrupación
1.ac+ad+bc+bd
a(c+d)+b(cd)= (c+d)(a+b)
2. x^3+x^2+6x+6
x^2(x+1)+6(x+1)=(x+1)(x^2+6)
3. 7x^2-14x-6x+12
7x(x-2)-6(x-2)=(x-2)(7x-6)
Operaciones con fracciones
Ejemplos:
1.\frac{3a^3-2a^2b-ab^2}{-ab}
\frac{3a^3}{-ab}-\frac{2a^2b}{-ab}-\frac{ab^2}{-ab}
\frac{3a^3}{b}+2ab+b
2.\frac{(3x+a)^2-a(3x+a)}{3x+a}
\frac{(3x+a)(3x+a)}{3x+a}-\frac{a(3x+a)}{3x+a}
3x+a-a=3x
3.\frac{12x^3-6x^2+18x}{6x}
2x^2-x+3
4.\frac{x^2+3x-2}{x}
x+3-\frac{2}{x}
5.\frac{4x^2+x+2}{x}
2x-1+\frac{1}{x}
6.\frac{4x^2+x+2}{2x}
2x-\frac{1}{2}+\frac{1}{x}
7.\frac{15x^3-3x^2+6x}{3x^2}
5x-1-\frac{2}{x}
8.\frac{9x^2-6xy-12y^2}{3xy}
\frac{3x}{y}-2-\frac{4y}{x}
9.\frac{2x^4y^2-4x^3y^3-6x^2y^4}{-2x^3y^3}
\frac{-x}{y}+2-\frac{3y}{x}
10.\frac{(x-3a)^2+2a(x-3a)}{(x-3a)}
x-3a+2a=x-a
Operaciones con fracciones con MCD
1.Factorizar los denominadores de las fracciones en caso de que sea necesario
2.Encontrar el mínimo común denominador de las fracciones
3.Deidir el MCD entre cada denominador y el cociente por el numerador en cada fracción
4.Efectuar las operaciones efectuadas
Ejemplo:\frac{6}{x(2x-2)}+\frac{5}{3x-2}-\frac{2}{x^2}
Ecuaciones Lineales
Donde el coeficiente de la variable es igual a 1. Dos ecuasiones son equivalentes si tienen la misma solución y se le pueden aplicar las siguientes propiedades.
Propiedades:
Sí p(x)=q(x) es una ecuasión, entonces p(x)+c=q(x)+c, es una ecuasión equivalente.
Propoedad multiplicativa:
Sí p(x)=q(x) es una ecuasión y c no es igual a cero, entonces p(x)*=q(x) es una ecuasión equivalente.
Como la restta es el inverso de a suma y la división es el inverso de la multipklicación si restamos a dividimos en ambos lados el mismotérmino se obtiene ecuasiones equivalentes.
Ejemplos:
1. 5(x-1)+2=3(x+2)-1 2. 4+5(3x-1)=2(x-3=-2
5x-5+2=3x+6-1 4+15x-5=2x-6-2
5x-3=3x+5 15x-1=2x-8
5x-3x=3+5 15x-2x=-8+1
2x=8 13x=-7
x=8/2 x=-7/13
x=4
3. 4x+5=3(2x-1)+4 4. 8x-1=23-4x
x+5=6x-3+4 8x+4x=23+1
x+5=6x+1+x-6x=1-5+-5x=-4 12x=24
x=-4/5 x= 24/12
x=2
Ecuasiones Cuadráticas
Una ecuasión cuadrática tiene la forma general: ax^2+bx+c=0
Y para resolverla existen 2 métodos es de factorización y el de la formula general de la expresión cuadrática.Primer método de factorización:
Propiedad si a*b=0 entonces a=0 o b=0
Ejemplo:
1.5x^2-25x=0
Factorizamos: 5x(x-5)=05x=0 o x-5=0
x=0 x=5
2.x^2-x-6=0
(x+2)(x-3)=0x+2=0 x-3=0
x=-2 x=3
Segundo método Formula General:
x=-b{+ \choose -} \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
Ejercicios:1.x^2-x-1=0
x=(-1){+ \choose -} \frac{\sqrt{-1^2-4(1)(-1)}}{2(1)}
x=1{+ \choose -} \frac{\sqrt{1+4}}{2}
x_1=1+\frac{\sqrt{5}}{2}
x_2=1- \frac{\sqrt{5}}{2}
2.2x^2-4x-14=0
x=(-4){+ \choose -} \frac{\sqrt{-4^2-4(2)(-14)}}{2(2)}
x=4{+ \choose -} \frac{\sqrt{16+112}}{4}
x=4{+ \choose -}\frac{\sqrt{128}}{4}
x_1=4+\frac{\sqrt{128}}{4}
x_2=4- \frac{\sqrt{128}}{4}
3.7x^2+2x-5=0
x=-2{+ \choose -} \frac{\sqrt{2^2-4(7)(-5)}}{2(7)}
x=-2{+ \choose -} \frac{\sqrt{4+140}}{14}
x=4+\frac{\sqrt{144}}{14}
x_1=\frac{-2+12}{14}
x_1=\frac{10}{14} = \frac{5}{7}
x_2=\frac{-2-12}{14}
x_2=\frac{-14}{14} = -1
4.5x^2-17x+6=0
x=-(-17){+ \choose -} \frac{\sqrt{-17^2-4(5)(6)}}{2(5)}
x=17{+ \choose -} \frac{\sqrt{289-120}}{10}
x=17{+ \choose -}\frac{\sqrt{169}}{10}
x_1=\frac{17+13}{10}
x_1=\frac{30}{10}=1
x_2=\frac{17-13}{10}
x_2=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}
